美夢成真教甄討論區

計算第 2 題 (1) 2a_2 = a_1 + a_3 √S_n = λ(a_n - 1) + 1 √S_2 - √S_1 = λ(a_2 - a_1) = λ(a_3 - a_2) = √S_3 - √S_2 2√S_2 = √S_1 + √S_3 (2) a_2 = a_1 + d，a_3 = a_1 + 2d 4S_2 = S_1 + S_3 + 2√(S_1S_3) 4(2a_1 + d) = a_1 + 3a_1 + 3d + 2√[a_1(3a_1 + 3d)] d = 2a_1，a_2 = 3a_1，a_3 = 5a_1 (3) λ = (√S_2 - 1) / (a_2 - ...

填充第 3 題
a_1 = 10，a_2 是整數，表示公差是整數
S_n <= S_4，表示 a_5 <= 0 且公差是負整數
易知公差 = -3
剩下的就裂項相消

計算第 1 題
(a’^2 + c’^2 - b’^2) / (b’^2 + c’^2 - a’^2)
=2a’c’cos β / [2b’c’cos(α - β)] ，餘弦定理
= a’cos β / [b’cos(α - β)]
= sin(α - β)cos β / [sin βcos(α - β)]，正弦定理
= (1/2)[sin α + sin(α - 2 β)] / {(1/2)[sin α + sin(2 β - α)]}，積化和差
= [sin α + sin(α - 2 β)] / [sin α - sin(α - 2 β)]
= (a + b) / (a - b)，正弦定理

第 1 題
兩根立方和為 0，即兩根和為 0

第 5 題
在 BC 上取 CE = AD，則 BE = BD
BA/BC = AD/CD = CE/CD
又 ㄥABC = ㄥECD
△BAC 和 △CED 相似

ㄥDBE = x，ㄥDEB = (180 - x)/2 = ㄥECD + ㄥEDC = 2x + 2x
x = 20
ㄥA = 100 度

第 15 題
利用 L'Hopital's Rule，可得 √[1 + (2 + h)^2]，取極限後 = √5

第 13 題
設所求為 y = mx + 1，與 y = 2x + 1 的夾角為 45 度
tan 45 度 = | (m - 2) / (1 + 2m) |
m = -3 or 1/3(不合)
所求為 y = -3x + 1

第 3 題 答案有誤，應選 (E) 33 第 8 題 設 m > n S_n = S_m a_1 * a_2 * … * a_n = a_1 * a_2 * … * a_n * a_(n + 1) * a_(n + 2) * … * a_m a _(n + 1) * a_(n + 2) * … * a_m = 1 a_1 * a_2 * … * a_n * [a_(n + 1) * a_(n + 2) * … * a_m] * a_(m + 1) * a_(m + 2) * … * a_(m + n) 中括號裡的數，乘積是 1，中括號前與後各是 n 個數 故 a_1 * a_(m + n) =...

第 8 題 四個方向，共 4^4 = 256 種情形，分類計算 (1) 四同：4 種，曼距都是 4 (2) 三同一異：C(4，1) * C(3，1) * 4!/3! = 48 種 類似”東東東西”是曼距 2 的有 16 種，類似”東東東南”是曼距是 4 的有 32 種 (3) 二同二同：C(4，2) * 4!/(2!2!) = 36 種 類似”東東西西”是曼距 0 的有 12 種，類似”東東南南”是曼距是 4 的有 24 種 (4) 二同二異：C(4，1) * C(3，2) * 4!/2! = 144 種，曼距都是 2 (5) 四異：4! = 24 種，曼距都是 0 統計一下 曼距 0：36 ...

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第 L 題
這 20 個複數根所代表的點，平分以原點為圓心，半徑為 {√[18^2 + (-10√7)^2]}^(1/20) = 2^(1/4) 的圓周
周角被平分成 20 個 18 度的圓心角

利用餘弦定理，可估出當圓心角小於或等於 72 度時
兩點的距離的平方會小於 1 + 2√2 - √3

從 20 點中，先取 1 點，當另一點是其左或右 4 點以內時，符合題意

所求 = (4 * 2 * 20 / 2) / C(20，2) = 8/19

填充第 2 題
X 表示第 1 張和第 20 張
O 表示沒坐人
@ 表示有坐人

X@O@O@O@O@X
還剩 9 張空椅，插入 5 個 @ 產生的 6 個空隙中
每個空隙不能插入 4 個以上，否則會有連續 5 個空位

所求 = [H(6，9) - C(6，1) * H(6，5) + C(6，2) * H(6，1)] * 5! = 69600